Vrai ou faux ? - Solution 1

1. Pour tout entier naturel  `n`  ,  \(u_{n+1}-u_n=-\dfrac{1}{2}\)  donc  \(u_{n+1}=u_n-\dfrac{1}{2}\)  : on reconnaît la relation de récurrence définissant une suite arithmétique de raison  \(r=-\dfrac{1}{2}\) .

\(-\dfrac{1}{2}<0\)  donc la suite  `u`  est décroissante : l'affirmation 1 est vraie .

La suite  `u`  est donc une suite arithmétique de premier terme  `u_0=2`  et de raison  \(r=-\dfrac{1}{2}\)  donc, pour tout entier naturel  `n`  ,  `u_n=u_0+nr`  soit  \(u_n=2-\dfrac{1}{2}n\)  .

\(u_{102}=2-\dfrac{1}{2}\times 102=2-51=-49\)  donc l'affirmation 2 est fausse .

2. On cherche s'il existe une valeur de  `n`  telle que  \(v_n=5{,}9\)  :

\(v_n=5{,}9 \iff 0{,}2+0{,}3n=5{,}9 \iff 0{,}3n=5{,}7 \iff n= \dfrac{5{,}7}{0{,}3}=19\)

\(v_{19}=5{,}9\)  donc l'affirmation 3 est vraie .

3. La suite  \(w\)  est  une suite arithmétique de raison  \(r=-3\)  donc, pour tout entier naturel  \(n\) ,  \(w_n=w_0+nr\)  soit \(w_n=w_0-3n\) .

`w_4=11 \iff w_0-3\times 4=11 \iff w_0-12=11 \iff w_0=23`

On en déduit que l'affirmation 4 est fausse .

On peut aussi utiliser un raisonnement par l'absurde en supposant que  `w_0=20` .

On a alors  `w_4=w_0-3\times 4=20-12=8`  ce qui est faux donc  \(w_0 \neq 20\) .

4. Pour tout entier naturel  `n` , on a  `t_n=t_0+nr`  soit  `t_n=5-2n`  .

\(t_n<-55 \iff 5-2n<-55 \iff -2n<-60 \iff n>\dfrac{60}{2} \iff n>30\)

\(t_n<-55\)  à partir de  `n=31`  donc l'affirmation 5 est fausse .

5. On constate que les points de la représentation graphique de la suite ne sont pas alignés donc la suite  `u`  n'est pas une suite arithmétique : l'affirmation 6 est fausse.

On peut aussi constater que  `u_1-u_0=1`  et  \(u_2-u_1=2\)  et  \(2\neq 1\)  donc la suite  `u`  n'est pas arithmétique.

6. Le nombre de poissons d'un étang diminue tous les ans de 5 % .

Affirmation 7 : cette situation peut être modélisée par une suite arithmétique.

Diminuer de 5 % revient à multiplier par  \(1-\dfrac{5}{100}\)  et  \(1-\dfrac{5}{100}=0{,}95\)  donc chaque année le nombre de poissons de cet étang est multiplié par 0,95. Cette situation ne peut donc pas être modélisée par une suite arithmétique et l'affirmation 7 est fausse .